3 Nachweise der Tragsicherheit und Gebrauchstauglichkeit

Durch die Beschränkung der Durchbiegung durch die bereits bei der Schnittgrößenermittlung die entsprechenden Trägheiten iteriert werden ist die Gebrauchstauglichkeit automatisch garantiert.

Durch das hier angewendete Berechnungsverfahren, können Stabilitätsversagen von Systemen erkannt werden, die sich auf Grund der Systemverformung krümmen. Systemteile, die ausschließlich eine Verdrehung erfahren, werden bei dieser Berechnung nicht auf ihr Stabilitätsverhalten hin überprüft. Für diese Teile muss ein gesonderter Nachweis erbracht werden. Dieser Nachweis wird nach dem in der Norm vorgestellten Ersatzverfahren erbracht. Die folgende Tabelle zeigt die betroffenen Stäbe.

3.1 Spannungsnachweise

1.3.1 Stahlteile

Der Spannungsnachweis wird nach dem in der DIN 18800 vorgestellten Verfahren Elastisch‑Plastisch durchgeführt. Dazu muss gezeigt werden, dass ist. wird aus den entsprechenden Profiltabellen erfragt, errechnet sich für I-Profile wie folgt:

Die darin vorkommenden Größen h, t, r und s sind in der DIN 18800 vertafelte Abmessungen der I‑Profile.

Sodann kommt das vereinfachte Verfahren für doppeltsymmetrische I‑Profile mit einer Beanspruchung N, M_y und V_Z in Anwendung:

Die plastischen Grenzzustände werden aus der Profiltabelle im Eurocode 3 abgegriffen.

1.3.2 Betonteile

Allgemeine Kenngrößen

Da die DIN 1045-1 keine allgemeine Berechnungsformel für Stahlbetonteile angibt, sondern nur auf die Grundlagen der Berechnung hinweist, wird hier der gesamte Formelapparat ergeleitet.

- Aus dem eben bleiben der Querschnitte, das für balkenförmige Tragsysteme näherungsweise gilt, folgt eine lineare Zusammenhang zwischen der Dehnung eines differentiellen Elements des Querschnittes und seinem Abstand zur Spannungsnulllinie.

- Das Materialgesetz für Beton gehorcht im wesentlichen einem Parabel‑Rechteck Verlauf. Woraus sich folgendes Gleichungssystem für die Betonspannung ableiten lässt (DIN 1045-1 9.1.6):

Dabei ist:

-

Für den Stahl wird das in der DIN 1045-1 9.2.4 vereinfachte Materialgesetz angenommen:

-
Die für die Bemessung des Grenzzustandes maßgebenden Größen seien in der nun folgenden Zeichnung angegeben. Wobei die Richtung der Kräfte vorzeichengetreu einzutragen sind. Die Zeichnung entspricht der Konvention für Schnittkräfte.

-

Folgende Größen lassen sich aus der Zeichnung ableiten:

- Für die Stahlspannung gelten folgende Gleichungen

Herleitung der resultierenden Betondruckkraft

- Die Resultierende der Betonspannung ergibt sich aus:

- Der Völligkeitsbeiwert a_d wird nun über folgende Hilfsgrößen hergeleitet

und

- Somit ergibt sich das Gleichungssystem für a_d wie folgt

Herleitung des Angriffspunkts der resultierenden Betonkraft

- Den Angriffspunkt der Kraft D_c erhält man nun über das differentielle Gleichgewicht:

- Um das Problem zu lösen, sind folgende Zwischenschritte nötig:

- Es werden wiederum Hilfsintegrale hergeleitet:


und

- Somit lässt sich auch für k_a ein Gleichungssystem aufstellen:

Bemessung ohne Druckbewehrung

- Bei den nun aufzustellenden Gleichgewichten muss darauf geachtet werden, dass die Normalkraft an einem Schnittufer per Definition die integrale Aufsummation der Spannungen ist!

- Nun lässt sich eine der Grundgleichungen für die Iteration der Dehnungen über das Momentengleichgewicht um den Angriffspunkt der Stahlzugkraft aufstellen wenn A_s2=0 gesetzt wird:

- Ist die Verträglichkeit nun gestimmt, lässt sich über das Momentengleichgewicht um den Angriffspunkt der Betondruckkraft die nötige Stahleinlage für den einfach bewehrten Querschnitt bestimmen.

Bemessung mit Druckbewehrung

- Eigentlich muss, wenn der gesamte Querschnitt überdrückt wird, die komplette Höhe des Querschnitts eingesetzt werden. Sobald aber auf einer Seite des Querschnitts wieder Zug herrscht müsste wieder die statische Höhe für die Bemessung herangezogen werden. Dieser Sachverhallt müsste mit einer Fallunterscheidung respektive einem Gleichungssystem abgebildet werden. Da der Zugewinn bei Ansetzten der gesamten Höhe allerdings gering ist, wird auf diese Flächendifferenz verzichtet und ausschließlich mit der statischen Höhe h gerechnet.

- Da die Druckbewehrung in diesem Problemkreis nur in Stützen angeordnet wird, kann man von folgenden Vereinfachungen ausgehen, um das Problem symmetrisch zu halten:

- Durch das Gleichgewicht der horizontalen Kräfte ergibt sich:

- Es ist leicht zu erkennen, dass das Gleichgewicht von zwei Größen abhängt. Dem Dehnungsverhältnis und der Bewehrungsfläche. Somit ist eine weiter Gleichung nötig, um die Verträglichkeit zu erfüllen.

- Durch Gleichsetzten beider Gleichungen erhält man den Ausdruck:

Diese Gleichung vereinfacht sich oberhalb der Streckgrenze zu:

- Damit ist die Gleichung nur noch von den Dehnungen abhängig und somit relativ leicht zu variieren. Die nötige Bewehrung ermittelt sich dann aus eine der beiden Gleichgewichtsbedingungen.

Querkraftbemessung

Die Schubbewehrung wird im 90 ° zur Spannungsnulllinie ausgerichtet. Dementsprechend sind die Formeln bereits angepasst.

- Maximale Querkraft ohne rechnerische Bewehrung


für V_Rd,ct ≥ V_sd wir ausschließlich die Mindestbewehrung angeordnet.

- Nachweis der Druckstreben für senkrechte Schubbewehrung

- Erforderliche Bewehrung je Längeneinheit

- Mindestschubbewehrung je Längeneinheit
für b £ h


für b > h

3.2 Stabilitätsnachweise

Das bei der Schnittgrößenermittlung angewendete Drehwinkelverfahren berücksichtigt Effekte nach Theorie II Ordnung auf Systemebene. Das bedeutet, dass das System und alle Stäbe, die durch das Verfahren gebogen werden, auf Knicken untersucht sind. Somit müssen nur noch Stäbe, die auf beiden Seiten Momentengelenke haben, auf Einzelstabknicken untersucht werden. Folgende Tabelle vertafelt alle Fälle, bei denen die Knickuntersuchung nötig ist.

	Stiel links	Riegel	Stiel rechts
Typ I	nein	nein	nein
Typ II	nein	nein	ja
Typ III	nein	nein	nein
Typ IV	nein	ja	ja

2.3.1 Stahlteile

Einzelstabknicken nach DIN 18800

Der Formelapparat für den Eulerstab 2. Alle nötigen Querschnittswerte werden aus der als XML Datei vorliegenden Tabelle der gewalzten I-Profile im EC 3 entnommen.

Biegedrillknicken nach DIN 18800

Für den Biegedrillknicknachweis wird die bezogene Schlankheit des Querschnitts senkrecht zur z‑Achse gesucht. Durch den aussteifenden Verbund der Rahmen untereinander, kommt automatisch der Eulerfall 2 zum tragen. Auch hier gilt, das alle nötigen Querschnittskenngrößen aus der als XML Datei vorliegenden Tabelle der gewalzten I-Profile im EC 3 entnommen werden.

Da das Berechnungsverfahren die Eigenformen der Querschnitte nicht abbildet muss der Nachweis für alle Stahlbauteile geführt werden. Leider sieht die DIN 18800 kein entkoppeltes Verfahren für Biegedrillknicken vor. Allerdings kann der Lastfall Biegeknicken als nicht maßgebend ausgeschlossen werden, wenn die Enden des Entsprechenden Stabes biegesteif angeschlossen sind, da dann das Drehwinkelverfahren das Biegeknicken aufzeigt.

2.3.2 Betonteile

Die DIN 1045-1 sieht ein vereinfachtes Verfahren für Einzelstäbe vor, bei dem eine Ersatzausmitte e_tot folgendermaßen errechnet wird:

Die Formeln wurden bereits auf das vorliegende Problem angepasst. Die Bemessungsgrößen ergeben sich somit aus:

3.3 Nachweis der biegesteifen Eckverbindungen.

Eigentlich gibt es mehrere mögliche Ausführungen der Ecken. Im Rahmen dieses Entwurfs wird aber nur die biegesteife Ecke zwischen Stahlteilen behandelt. Dabei wird abweichend von der Vereinbarung ein geschraubter Anschluss bemessen, da es die Abmessungen der Einzelnen Teile nicht ermöglichen würde sie im bereits verbundenen Zustand zu transportieren. Schweißen auf der Baustelle ist ein umstrittener Kompromiss der hier nicht favorisiert wird.

Der Nachweis der Schraubverbindungen ist in den Schneider Bautabellen[1] [8.5.1] unter Typ 2 geführt. in Anlehnung an diesen Nachweis wurde die Bemessungsnomenklatur geführt. Weiterhin muss darauf geachtet werden, das Stiel- und Riegelbreite gleich gewählt sind. Dies stellt allerdings kein großes Problem dar, da die in Frage kommenden Profile alle etwa 300 mm breit sind.

Die Gewichtskraft des Stiels wurde zur Vereinfachung des Schnittgrößenermittlung am Stielkopf angesetzt. Dort ist sie in Wirklichkeit allerdings noch Null. Somit wird sie von N_S einfach abgezogen und vereinfacht so die Bestimmung der Knotenkräfte.

- Ermittlung der Kernkräfte

- Ermittlung der Rahmenkräfte

- Nachweis der Schweißnaten der Stirnplatte
Laut Schneider [Tafel 8.69b] Kann auf einen rechnerischen Nachweis des Anschlusses verzichtet werden, wenn die Nähte an den Flanschen mindesten der halben Flanschdicke und die Nähte am Steg der halben Stegdicke entspricht.

- Vorwerte für die Bemessung der Schraubenverbindung

N_R,d Grenzzugkraft der Schraube nach DIN

b Stegbreite des Riegels
t Stegdicke des Riegels
n Anzahl der Schrauben pro Achse (=4)
d_L Lochdurchmesser
D Scheibendurchmesser nach DIN

- Versagenszustand 1: Schrauben versagen und der Zugflansch plastiziert durch (Z_t1 ≥ Z_pl,d)

- Versagenszustand 2: Der Zugflansch und gezogene Schraubenachse plastizieren durch. (Z_t2 ≥ Z_pl,d)

- Versagenszustand 3: Schrauben versagen und der Zugflansch plastiziert durch (Z_t3 < Z_pl,d)

- Versagenszustand 4: Der Zugflansch und gezogene Schraubenachse plastizieren durch. (Z_t4 < Z_pl,d)

- Maßgebend ist die Zugkraft, bei der der Versagenszustand zuerst eintritt. dabei ist darauf zu achten, dass die Zustände in der angegebenen Reihenfolge untersucht werden.

- Nachweis der Tragfähigkeit für die am Flansch angreifenden Kräfte

- Nachweis der Tragfähigkeit für die angreifenden Querkräfte

V_a,R,d Aus Tabelle für SLV 10.9 mit Schaft in der Fuge.

Die Angreifenden Querkräfte werden nur von den nicht gezogenen also unteren Schrauben abgetragen.

- Nachweis der Gebrauchstauglichkeit

F_v Vorspannkraft nach DIN

Auf einen Nachweis der eingeschweißten Bleche kann verzichtet werden, da die Versagensformen 2 und 4 diesen Aspekt mehr als großzügig berücksichtigen. Das bedeutet, dass lange bevor die Bleche versagen die Verbindung versagen würde.

3.1 Nachweis der Momentengelenke

Die Lagerpunkte drehbar gelagerter Rahmenteile werden konstruktiv ausgebildet und benötigen keinen rechnerischen Nachweis.

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[1] Bautabellen für Ingenieure Schneiderverlag 14. Auflage